Синустар теоремасы

Синустар теоремасы — кез келген үшбұрыштың а, b, с қабырғалары мен оларға қарсы жатқан А, В, С бұрыштарының синустары арасындағы қатысты сипаттайтын тригонометриялық теорема; формула түрінде теңдіктері арқылы жазылады (мұндағы R — үшбұрышқа сырттай сызылған дөңгелектің радиусы).

${\displaystyle {\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}=2R,}$

мұндағы ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$ — үшбұрыш қабырғалары, ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma }$ — сәйкесінше оларға қарсы жатқан төбелеріндегі бұрыштар, ал ${\displaystyle R}$ — үшбұрышқа сырттай сызылған шеңбер радиусы .

Дәлелдеу  

Мынаны дәлелдесе жеткілікті

${\displaystyle {\frac {a}{\sin \alpha }}=2R.}$

Сырттай сызылған шеңбердің диаметрін ${\displaystyle |BG|}$ жүргізейік. Шеңберге іштей сызылған бұрыштар қаситеі бойынша бұрыш ${\displaystyle GCB}$ тік болады, ал бұрыш ${\displaystyle CGB}$ не ${\displaystyle \alpha }$ (бұрыш ${\displaystyle CAB}$), егер ${\displaystyle A}$ мен ${\displaystyle G}$ нүктелері ${\displaystyle BC}$ түзуінің бір жағында жатса, немесе ${\displaystyle \pi -\alpha }$ мініне тең кері жағдайда. ${\displaystyle \sin(\pi -\alpha )=\sin \alpha }$ болғандықтан, екі жағдайда да ${\displaystyle a=2R\sin \alpha }$. Осы жолмен басқа екі қабырғалары үшін де табатынымыз:

${\displaystyle {\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}=2R.}$

• В ${\displaystyle n}$-өлшемді симплексте келесі қатынас орын алады

  ${\displaystyle R_{n}={\frac {R_{n-1}^{i}}{\sin 2{A_{n-1}^{i}}}},}$

мұндағы ${\displaystyle R_{n}}$ — сырттай сызылған сфера радиусы; ${\displaystyle R_{n-1}^{i}}$ — ${\displaystyle (n-1)}$-өлшемді сырттай сызылған сфера радиусы ${\displaystyle i}$-жақтары; ${\displaystyle A_{n-1}^{i}}$ — ${\displaystyle i}$-ші төбесіне сырттай сызылған конустың бұрыштық радиусы.

• Косинустар теоремасы
• Тангенстер теоремасы
• Котангенстер теоремасы
• Тригонометрия