Интегралдық теңдеулер

Фредгольмның 2-ші түрдегі Интегралдық теңдеулері былай анықталады:

${\displaystyle \varphi (x)=\lambda \int \limits _{a}^{b}K(x,\;s)\varphi (s)\,ds+f(x).}$

Интегралдау шектері шекті немесе шексіз болуа мүмкін. Анымалылар мына теңсіздікді қанағаттандырады: ${\displaystyle a\leqslant x,\;s\leqslant b}$, ал ядросы мен бос мүшелері үздіксіз болу керек: ${\displaystyle K(x,\;s)\in C(a\leqslant x,\;s\leqslant b),\;f(x)\in C([a,\;b])}$, немесе келесі шарт орындалу керек:

${\displaystyle \int \limits _{a}^{b}\int \limits _{a}^{b}|K(x,\;s)|^{2}\,dx\,ds<+\infty ,\qquad \int \limits _{a}^{b}|f(x)|^{2}\,dx<+\infty .}$

Соңғы шартты қанағаттандыратын ядролар фредгольмдік деп те аталады. Егер ${\displaystyle [a,\;b]}$ интервалында ${\displaystyle f(x)\equiv 0}$ болса, онда теңдеу біртекті, әйтпесе біртексіз интегралдық теңдеу деп аталады.

1-ші түрдегі Фредгольм теңдеулері де 2-ші түрдегі секілдіге ұқсас, айырмашылығы - бұнда интерграл сыртында белгісіз функциясы бар бөлігі жоқ:

${\displaystyle \int \limits _{a}^{b}K(x,\;s)\varphi (s)\,ds=f(x),}$

ал ядро мен бос мүшесі Фредгольмның 2-ші түрдегі теңдеулері шартын қанағаттандырады.

Вольтерра теңдеулері Фредгольм теңдеулерінен интегралдау шектерінің бірі айнымалы болғанында:

${\displaystyle \varphi (x)=\lambda \int \limits _{a}^{x}K(x,\;s)\varphi (s)\,ds+f(x),\qquad a\leqslant x\leqslant b.}$

Фредгольм теңдеулеріндегідей 1-ші түрдегі Вольтерра теңдеулерінде интеграл сыртындағы беймәлім функция жоқ:

${\displaystyle \int \limits _{a}^{x}K(x,\;s)\varphi (s)\,ds=f(x).}$

Егер келесідегідей ядросын анықтаса Вольтерра теңдеулері Фредгольм теңдеулерінің жекеше түрі деп қарастырса да болады:

${\displaystyle {\mathcal {K}}(x,\;s)={\begin{cases}K(x,\;s),&a\leqslant s\leqslant x,\\0,&x$

Дегенмен Вольтерра теңдеулерінің кейбір қасиеттері Фредгольм теңдеулеріне жарамайды.