Менелай теоремасы

Менелай теоремасы немесе трансверсалдар туралы теорема немесе толық төртқабырғалық туралы теорема — бұл аффиндік геометрияның классикалық теоремасы.

Егер ${\displaystyle A',B'}$ және ${\displaystyle C'}$ нүктелері сәйкесінше ${\displaystyle \triangle ABC}$ үшбұрышының ${\displaystyle BC,CA}$ және ${\displaystyle AB}$ қабырғаларында немесе олардың созындыларында жатса , онда олар коллинеар болады сонда тек сонда, егер

${\displaystyle {\frac {AB'}{B'C}}\cdot {\frac {CA'}{A'B}}\cdot {\frac {BC'}{C'A}}=-1.}$

мұндағы ${\displaystyle {\frac {AB'}{B'C}}}$, ${\displaystyle {\frac {CA'}{A'B}}}$ және ${\displaystyle {\frac {BC'}{C'A}}}$ бағытталған кесінділер қатынасын белгілейді,.

Бұл теоремадан мынадай қатынас шығады:

${\displaystyle {\frac {|AB'|}{|B'C|}}\cdot {\frac {|CA'|}{|A'B|}}\cdot {\frac {|BC'|}{|C'A|}}=1.}$

• Тригонометриялық баламасы:

${\displaystyle {\frac {\sin \angle BAA'}{\sin \angle A'AC}}\cdot {\frac {\sin \angle CBB'}{\sin \angle B'BA}}\cdot {\frac {\sin \angle ACC'}{\sin \angle C'CB}}=-1}$, мұндағы барлық бұрыштар — бағдарланған.

• Сфералық геометрияда Менелай теоремасы былай түрленеді

${\displaystyle {\frac {\sin |AB'|}{\sin |B'C|}}\cdot {\frac {\sin |CA'|}{\sin |A'B|}}\cdot {\frac {\sin |BC'|}{\sin |C'A|}}=1.}$

• Лобачевский геометриясында Менелай теоремасы түрі

${\displaystyle {\frac {\operatorname {sh} |AB'|}{\operatorname {sh} |B'C|}}\cdot {\frac {\operatorname {sh} |CA'|}{\operatorname {sh} |A'B|}}\cdot {\frac {\operatorname {sh} |BC'|}{\operatorname {sh} |C'A|}}=1.}$

Бұл теорема Алесандриялық Менелайдың «Сферикасының» үшінші бөлімінде (шамамен БД 100 ж.) дәлелдейді. Ол басында теореманың жазық нұсқасын дәлелдейді, содан орталық проекциялаумен сфераға көшіреді. Жазықтықтағы нұсқасы оның алдында сақталмаған Евклидтің «Поризмаларында» дәлелденуі мүмкін.

• Салмон теоремасы

• Гаусс түзуі
• Чева теоремасы

1. Қабырғаларының өзінде тура екі нүкте жатады немесе мүлдем нүкте болмайды