Аньези локоны

Локон үстінде жататын ${\displaystyle M}$ нүктесінің координаттары - ${\displaystyle x=BM}$, ${\displaystyle y=OB}$. ${\displaystyle OA=a}$.

Пропорция құраймыз

${\displaystyle \textstyle {\frac {x}{BC}}={\frac {a}{y}}}$

Осы жерден:

${\displaystyle \textstyle BC={\frac {xy}{a}}}$

${\displaystyle BC}$-ты шеңбер теңдеуінен табкға болады:

${\displaystyle \textstyle \left(y-{\frac {a}{2}}\right)^{2}+x^{2}={\frac {a^{2}}{4}}}$

Бізге белгілі${\displaystyle y=OB}$, осы жерден ${\displaystyle x^{2}}$:

${\displaystyle \textstyle x^{2}={\frac {a^{2}}{4}}-\left(y-{\frac {a}{2}}\right)^{2}}$

${\displaystyle BC}$ үшін екі формуланы теңдестіреміз:

${\displaystyle \textstyle {\frac {x^{2}y^{2}}{a^{2}}}={\frac {a^{2}}{4}}-\left(y-{\frac {a}{2}}\right)^{2}}$

Квадратқа дәрежелейміз, және ${\displaystyle y^{2}}$-ны жақшаның сsртына шығарамыз:

${\displaystyle \textstyle \left({\frac {x^{2}}{a^{2}}}+1\right)y^{2}=ay}$

y-ты білдіреміз:(y=0 болмайды):

${\displaystyle \textstyle y={\frac {a^{3}}{a^{2}+x^{2}}}}$

Егер${\displaystyle a}$ — шеңбердің диаметрі емес, радиусы болса:

${\displaystyle \textstyle y={\frac {8a^{3}}{4a^{2}+x^{2}}}}$