Эйлер формуласы

Эйлер формуласы кешендік экспонентаны тригонометриялық функциямен байланыстырады. Формуланы ойлап тапқан Леонард Эйлер құрметіне осылай аталған.

Эйлер формуласы кез келген ${\displaystyle x}$ кешендік сан (жекеше түрде нақты сан) үшін келесі теңдік орындалады:

${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x}$,

мұндағы ${\displaystyle e}$ — ${\displaystyle e=\lim _{x\to \infty }\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x}}$,

${\displaystyle i}$ — жорамал бірлік формуласымен анықталатын ең маңызды математикалық тұрақтылардың бірі.

Эйлер формуласының негізінде ${\displaystyle \sin }$ және ${\displaystyle \cos }$ функцияларын былай анықтауға болады:

${\displaystyle \sin x={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}}$,

${\displaystyle \cos x={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}}$.

Сосын кешен айнымалы тригонометриялық функцияларды енгізуге болады. ${\displaystyle x=iy}$ болсын, онда:

${\displaystyle \sin iy={\frac {e^{-y}-e^{y}}{2i}}=i\mathop {\mathrm {sh} } \,y}$,

${\displaystyle \cos iy={\frac {e^{-y}+e^{y}}{2}}=\mathop {\mathrm {ch} } \,y}$.

Танымал бес негізгі математикалық тұрақтыларды байланыстыратын Эйлер теңдігі:

${\displaystyle e^{i\pi }+1=0}$

Эйлер формуласының ${\displaystyle x=\pi }$ болғандағы жеке түрі болып шығады.