Косинустар теоремасы

Үшбұрыш ${\displaystyle ABC}$-ны қарастырайық. ${\displaystyle C}$ төбесінен ${\displaystyle AB}$ қабырғасына ${\displaystyle CD}$ биіктік түсірейік. ${\displaystyle ADC}$ үшбұрышынан:

${\displaystyle AD=b\cos \alpha }$,

${\displaystyle DB=c-b\cos \alpha }$

Пифагор теоремасын екі тік бұрышты үшбұрыш ${\displaystyle ADC}$ мен ${\displaystyle BDC}$ үшін жазайық:

${\displaystyle h^{2}=b^{2}-(b\cos \alpha )^{2}\qquad \qquad \qquad (1)}$

${\displaystyle h^{2}=a^{2}-(c-b\cos \alpha )^{2}\qquad \qquad (2)}$

(1) мен (2) теідеулерінің оң жақтарын теңестірсек:

${\displaystyle b^{2}-(b\cos \alpha )^{2}=a^{2}-(c-b\cos \alpha )^{2}}$

немесе

${\displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos \alpha }$.

Егер табанындағы бір бұрышы дэңес болған жағдайда (ал биіктігі табанының созындысына түседі), толықтай біз қарастырғандай болады.

b мен c қабырғалары үшін:

${\displaystyle b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\cos \beta }$

${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma }$.